makalah pemecahan masalah dalam matematika

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Masalah

Suatu masalah biasanya memuat suatu situasi yang mendorong seseorang untuk menyelesaikannya akan tetapi tidak tahu secara langsung apa yang harus dikerjakan untuk menyelesaikannya. Jika suatu masalah diberikan kepada seorang anak dan anak tersebut langsung mengetahui cara menyelesaikannya dengan benar, maka soal tersebut tidak dapat dikatakan sebagai masalah.

Beberapa ahli pendidikan matematika menyatakan bahwa masalah merupakan pertanyaan yang harus dijawab atau direspon. Namun tidak setiap pertanyaan otomatis merupakan suatu masalah. Suatu pertanyaan disebut masalah tergantung kepada pengetahuan yang dimiliki penjawab. Dapat terjadi bahwa bagi seseorang, pertanyaan itu dapat dijawab dengan menggunakan prosedur rutin tetapi bagi orang lain untuk menjawab pertanyaan tersebut memerlukan pengorganisasian pengetahuan yang telah dimiliki secara tidak rutin.

Jadi suatu pertanyaan dapat menjadi masalah bagi seseorang tetapi bisa hanya menjadi pertanyaan biasa bagi orang lain. Hal ini sesuai dengan pernyataan Schoenfeld (1985) yaitu bahwa definisi masalah selalu relatif bagi setiap individu. Kategori pertanyaan menjadi masalah atau pertanyaan hanyalah pertanyaan biasa ditentukan oleh ada atau tidaknya tantangan serta belum diketahuinya prosedur rutin pada pertanyaan tersebut.

Hal ini dikatakan oleh Cooney, 1975 bahwa suatu pertanyaan akan menjadi masalah hanya jika pertanyaan itu menunjukkan adanya tantangan yang tidak dapat dipecahkan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui oleh si pelaku.

Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah hanya jika seseorang tidak mempunyai aturan/hukum tertentu yang dapat segera dipergunakan untuk menemukan jawaban pertanyaan tersebut.

Suatu pertanyaan merupakan masalah bergantung kepada individu dan waktu. Artinya, suatu pertanyaan merupakan suatu masalah bagi seorang anak, tetapi mungkin bukan suatu masalah bagi anak lain. Demikian juga suatu pertanyaan merupakan suatu masalah bagi seorang anak pada suatu saat, tetapi bukan merupakan suatu masalah lagi bagi anak tersebut pada saat berikutnya, bila anak tersebut sudah mengetahui cara dan proses penyelesaian masalah tersebut.

Syarat suatu masalah bagi seorang siswa adalah :

1.      Pertanyaan yang dihadapkan kepada seorang siswa haruslah dapat dimengerti oleh siswa tersebut, namun pertanyaan itu harus merupakan tantangan baginya untuk menjawabnya.

2.      Pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab dengan prosedur rutin yang telah diketahui siswa. Karena itu, faktor waktu untuk menyelesaikan masalah janganlah dipandang sebagai hal yang esensial.

Pertanyaan yang dihadapkan kepada siswa disebut soal. Soal-soal matematika dibagi menjadi dua bagian, yaitu :

1.      Latihan yang diberikan pada saat belajar matematika adalah bersifat berlatih agar terampil atau sebagai aplikasi dari pengertian yang baru saja diajarkan

2.      Untuk menyelesaikan suatu masalah, siswa tersebut harus menguasai hal-hal yang telah dipelajari sebelumnya yaitu mengenai pengetahuan, keterampilan dan pemahaman.

Menurut Polya (1973), terdapat dua macam masalah, yaitu :

1.      Masalah untuk menemukan, dapat teoritis atau  praktis, abstrak atau konkrit, termasuk teka-teki. Bagian utama dari masalah ini adalah :

a.       Apakah yang dicari?

b.      Bagaimana data yang diketahui?

c.       Bagaimana syaratnya?

Ketiga bagian utama tersebut sebagai landasan untuk dapat menyelesaikan masalah jenis ini.

2.      Masalah untuk membuktikan adalah untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan itu benar atau salah atau tidak kedua-duanya. Bagian utama dari masalah ini adalah hipotesa dan konklusi dari sebuah teorema yang harus dibuktikan kebenarannya.

Kedua bagian utama tersebut sebagai landasan untuk dapat menyelesaikan masalah jenis ini.

Masalah untuk menemukan lebih penting dalam matematika elementer, sedangkan masalah untuk membuktikan lebih penting dalam matematika lanjut.

B.     Pengertian Pemecahan Masalah

Pada awal abad ke sembilan belas, pemecahan masalah dipandang sebagai kumpulan keterampilan bersifat mekanis, sistematik, dan seringkali abstrak sebagaimana keterampilan yang digunakan pada penyelesaian soal sistem persamaan. Penyelesaian masalah seperti ini seringkali hanya berlandaskan pada solusi logis yang bersifat tunggal (Kirkley, 2003).

 Menurut Garofalo dan Lester (dalam Kirkley, 2003), pemecahan masamasah mencakup proses berpikir tingkat tinggi seperti proses visualisasi, asosiasi, abstraksi, manipulasi, penalaran, analisis, sintesis, dan generalisasi yang masing-masing perlu dikelola secara terkoordinasi.

Menurut NCTM (2000) memecahkan masalah berarti menemukan cara atau jalan mencapai tujuan atau solusi yang tidak dengan mudah menjadi nyata. Sedangkan menurut Polya (dalam Hudoyo, 1979) definisi pemecahan masalah adalah sebagai usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan, mencapai tujuan yang tidak dengan segera dapat dicapai.

Pemecahan masalah merupakan suatu proses untuk mengatasi kesulitan yang dihadapi untuk mencapai suatu tujuan yang hendak dicapai. Memecahkan suatu masalah matematika itu bisa merupakan kegiatan menyelesaikan soal cerita, menyelesaikan soal yang tidak rutin, mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari atau keadaan lain dan membuktikan atau menciptakan atau menguji konjektur.

Menurut Polya (Dardiri, 2007 : 28) menjelaskan bahwa pemecahan masalah merupakan suatu aktivitas intelektual yang sangat tinggi sebab dalam pemecahan masalah siswa harus dapat menyelesaikan dan menggunakan aturan-aturan yang telah dipelajari untuk membuat rumusan masalah. Aktivitas mental yang dapat dijangkau dalam pemecahan masalah antara lain adalah mengingat, mengenal, menjelaskan, membedakan, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi.

Selain itu, Dahar (Furqon, 2006 : 40) mengungkapkan bahwa pemecahan masalah merupakan kegiatan manusia yang mengaplikasikan konsep-konsep dan aturan-aturan yang diperoleh sebelumnya. Bila seorang siswa memecahkan masalah secara tidak langsung terlibat dalam perilaku berpikir.

Proses belajar menggunakan pemecahan masalah memungkinkan siswa membangun atau mengkonstruksi pengetahuannya sendiri didasarkan pengetahuan yang telah dimilikinya sehingga proses belajar yang dilakukan akan berjalan aktif dan dinamis.

Berdasarkan uraian tersebut, pemecahan masalah dalam matematika dipandang sebagai proses dimana siswa menemukan kombinasi aturan-aturan atau prinsip-prinsip matematika yang telah dipelajari sebelumnya yang digunakan untuk memecahkan masalah.

 Menurut Polya (1971), solusi soal pemecahan masalah memuat empat langkah fase penyelesaian, yaitu memahami masalah, merencanakan penyelesaian, menyelesaikan masalah sesuai rencana, dan melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah yang telah dikerjakan.

Fase pertama adalah memahami masalah. Tanpa adanya pemahaman terhadap masalah yang diberikan, siswa tidak mungkin mampu menyelesaikan masalah tersebut dengan benar. Setelah siswa dapat memahami masalahnya dengan benar, selanjutnya mereka harus mampu menyusun rencana penyelesaian masalah. Kemampuan melakukan fase kedua ini sangat tergantung pada pengalaman siswa dalam menyelesaikan masalah. Pada umumnya, semakin bervariasi pengalaman mereka, ada kecenderungan siswa lebih kreatif dalam menyusun rencana penyelesaian suatu masalah. Jika rencana penyelesaian suatu masalah telah dibuat, baik secara tertulis atau tidak, selanjutnya dilakukan penyelesaian masalah sesuai dengan rencana yang dianggap paling tepat. Dan langkah terahir dari proses penyelesaian masalah menurut Polya adalah melakukan pengecekan atas apa yang telah dilakukan mulai dari fase pertama sampai fase penyelesaian ketiga. Dengan cara seperti ini maka berbagai kesalahan yang tidak perlu dapat terkoreksi kembali sehingga siswa dapat sampai pada jawaban yang benar sesuai dengan masalah yang diberikan.

Tingkat kesulitan soal pemecahan-masalah harus disesuaikan dengan tingkat kemampuan anak. Berdasarkan hasil penelitian Driscoll (1982), pada anak usia sekolah dasar kemampuan pemecahan masalah erat sekali hubungannya dengan kemampuan pemecahan-masalah. Sedangkan pada anak yang lebih dewasa, misalkan siswa SMU, kaitan antar kedua hal tersebut sangat kecil.

C.    Jenis-jenis Masalah dalam Matematika Beserta Contohnya

Masalah dalam matematika dapat dibagi atas beberapa macam. Para ahli membagi masalah tersebut dalam berbagai jenis berdasarkan sudut pandang masing-masing.

Menurut Polya (1957) (dalam Dindyal, 2005: 70), masalah dibagi atas dua macam, yaitu masalah rutin dan masalah tidak rutin. Hal ini sejalan dengan pendapat Sternberg dan Ben-Zeev (1996: 32) bahwa masalah matematika terbagi atas masalah rutin dan masalah tidak rutin.

Masalah rutin adalah suatu masalah yang semata-mata hanya merupakan latihan yang dapat dipecahkan dengan menggunakan beberapa perintah atau algoritma. Contoh: (54 - 45) + (74 – 65) = ___. Ini Adalah masalah rutin untuk semua siswa sekolah menengah karena apa yang hendak dilakukan sudah jelas dan secara umum siswa tahu bagaimana menghitungnya.

Masalah tidak rutin lebih menantang dan diperlukan kemampuan kreativitas dari pemecah masalah. Menurut Sternberg dan Ben-Zeev (1996: 32), masalah yang tidak rutin muncul ketika pemecah masalah mempunyai suatu masalah tetapi tidak segera mengetahui bagaimana memecahkannya. Contoh:
Dalam sebuah pesta rakyat, banyak pengunjung pria dibandingkan pengunjung wanita adalah 5 : 2. Bila di antara pengunjung pria itu ada 6 orang yang meninggalkan pesta sebelum pesta usai, maka perbandingan pengunjung pria dan pengunjung wanita menjadi 2 : 1. Tentukan banyak pengunjung pesta rakyat itu?

Soal di atas merupakan soal yang tidak rutin karena apa yang dilakukan tidak jelas. Siswa dapat saja menyelesaikan soal ini dengan jelas tapi salah dalam merepresentasikan masalahnya.

Menurut Sternberg dan Ben-Zeev (1996: 32), beberapa masalah dapat disebut rutin untuk seorang pemecah masalah tetapi tidak rutin untuk orang lain. Jika siswa mengetahui rumus jarak = kecepatan x waktu, dan familiar dengan masalah jarak-kecepatan-waktu, maka soal berikut adalah soal rutin:
Jarak pulau Siompu dan pulau Kabaena adalah 240 mil. Seorang nelayan menggunakan sebuah perahu motor berangkat dari pulau Siompu pukul 04.30 WITA menuju pulau Kabaena dengan kecepatan rata-rata 75 mil/jam. Di tengah diperjalanan ia beristirahat 40 menit sambil memancing ikan. Pada pukul berapakah nelayan tersebut tiba di pulau Kabaena?

Contoh terakhir di atas menjadi soal yang tidak rutin jika siswa tidak mengetahui atau belum memahami secara baik hubungan antara jarak, kecepatan, dan waktu atau belum familiar terhadap hubungan ketiganya.
Contoh-contoh masalah yang dikemukakan dalam bentuk soal-soal di atas itu disebut juga masalah dunia nyata dan merupakan salah satu jenis dari masalah matematika. Di dalam Wikipedia (2008: 1) disebutkan bahwa masalah matematika dapat dibagi atas dua macam, yaitu: (1) masalah dunia nyata (real world problem) atau masalah alami yang lebih abstrak (a problem of a more abstract nature); dan (2) masalah matematika murni itu sendiri (nature mathematics).

Masalah matematika dunia nyata adalah suatu pertanyaan yang dikaitkan dengan keadaan konkrit (Wikipedia, 2008: 1). Masalah dunia nyata digunakan dalam pendidikan matematika untuk mengajarkan kepada siswa keterkaitan situasi dunia nyata dengan bahasa matematika yang abstrak. Keterkaitan matematika dengan dunia nyata yang tampak pada setiap pernyataan atau soal matematika yang diberikan akan berdampak pada banyak aspek dalam diri siswa seperti lebih tertarik untuk mempelajari matematika dan meningkatkan kemampuan berpikirnya. Oleh karena itu, siswa perlu diarahkan untuk memahami bagaimana menyelesaikan masalah dunia nyata secara lebih baik.

Sehubungan dengan masalah yang tidak rutin ini, menurut Polya (1973) (dalam Hudojo, 2001: 164), di dalam matematika terdapat dua macam masalah, yaitu: (1) masalah untuk menemukan, dapat teoritis atau praktis, abstrak atau konkret, termasuk teka-teki; dan (2) masalah untuk membuktikan adalah untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu benar atau salah - tidak kedua-duanya. Bagian utama dari masalah menemukan adalah: ”Apakah yang dicari? Bagaimana data yang diketahui? Bagaimana syaratnya?”, sehingga masalah seperti ini lebih penting dalam matematika elementer, sedangkan masalah membuktikan lebih penting dalam matematika lanjut. Kedua macam masalah ini merupakan bagian tak terpisahkan dari kegiatan siswa mempelajari matematika. Setiap masalah dalam matematika memerlukan pemecahan dan pemecahan itu harus dapat dibuktikan atau dapat dikomunikasikan sehingga dapat diterima oleh orang lain.

Jenis masalah dalam pembelajaran SD ada 4 yaitu:

1.      Masalah Translasi

Masalah translasi adalah masalah yang berhubungan aktivitas sehari-hari siswa.

Contoh: Ade membeli permen Sugus 12 buah.Bagaimana cara Ade membagikan kepada 24 orang temannya agar semua kebagian dengan adil?

2.      Masalah Aplikasi

Masalah aplikasi adalah masalah yang menerapkan suatu konsep,rumus matematika dalam sebuah soal-soal matematika.

Contoh : suatu kolam berbentuk persegipanjang yang berukuran panjang 20 meter dan lebar 10 meter.Berapa luas kolam tersebut?

3.      Masalah Proses/Pola

Masalah proses/pola adalah masalah yang memiliki pola, keteraturan dalam penyelesainnya.

Contoh: 2   4   6   8   ... Berapa angka berikutnya?

4.      Masalah Teka-teki

Masalah teka-teki adalah masalah yang sifat menerka atau dapat berupa permainan namun tetap mengacu pada konsep dalam matematika.

Contoh:Aku adalah anggota bilangan Asli,aku adalah bilangan perkasa,jika kelipatannku dijumlahkan angka-angkanya hasilnya adalah aku,siapakah aku?

Masalah di dalam matematika dapat diklasifikasi dalam dua jenis (Pusat Kurikulum, 2002 a, b, dan c), yaitu :

1.      Penemuan (Problem to find), yaitu mencari, menentukan, atau mendapatkan nilai atau objek tertentu yang tidak diketahui dari soal serta memenuhi kondisi atau syarat yang sesuai dengan soal.

2.      Pembuktian (Problem to prove), yaitu prosedur untuk menentukan apakah suatu pernyataan benar atau tidak benar. Soal membuktikan terdiri atas bagian hipotesis dan kesimpulan. Untuk membuktikan kita harus membuat atau memproses pernyataan yang logis dari hipotesis menuju kesimpulan, sedangkan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tidak benar kita harus memberikan contoh penyangkalnya sehingga pernyataan tersebut menjadi tidak benar.

Perhatikan beberapa contoh soal berikut:

a.       Apa langkah pertama yang harus dilakukan dalam mengerjakan 3 1/2: 5 1/4?

b.      Tentukan hasilnya bila 1/4 x 6 : 2 1/2 ?

c.       Manakah yang lebih luas, kebun yang berbentuk persegipanjang dengan panjang 314 m dan lebar 12 m atau kolam renang yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari lingkaran 12 m?

d.      Ani lebih tua dari Budi, Budi lebih tua daripada Chandra, Chandra lebih muda daripada Deni. Siapakah yang paling muda di antara mereka?

e.       Diketahui sejumlah bangun geometri datar, yaitu persegi, persegipanjang, segitiga, lingkaran, belahketupat, jajargenjang, laying-layang, dan trapesium. Buatlah hubungan di antara mereka dalam bentuk diagram peta konsep!

f.       Dengan cara bagaimana kita menunjukkan 6 dibagi 3 adalah 2?

g.      Jelaskan mengapa?

h.      Mengapa bilangan-bilangan ganjil dikalikan dengan bilangan genap selalu menghasilkan bilangan genap?

i.        Mengapa setiap persegi adalah pesegi panjang?

j.        Mengapa sebuah relasi belum tentu merupakan fungsi?

Dari soal-soal di atas soal no a-e merupakan masalah penemuan, sedangkan soal no 6-10 merupakan masalah pembuktian, karena :

a.       Pada soal poin a siswa akan menentukan langkah pertama untuk mendapatkan nilai dari 3 ½ : 5 ¼ (masalah penemuan).

b.      Pada soal poin b siswa akan mencari nilai dari 1/4 x 6 : 2 1/2 (masalah penemuan).

c.       Pada soal poin c siswa akan menentukan mana yang lebih luas dengan mencari luas kebun dan kolam renang dengan ukuran masing-masing yang sudah di tentukan (masalah penemuan).

d.      Pada soal poin d siswa akan menentukan kondisi yang sesuai soal dengan yang diberikan (masalah penemuan).

e.       Pada soal poin e siswa akan mencari, menentukan, dan mendapatkan hubungan bangun geometri datar yang diberikan dalam diagram peta konsep (masalah penemuan).

f.       Pada soal poin f siswa akan menunjukkan bahwa 6 dibagi 3 adalah 2 merupakan pernyataan yang bernilai benar (masalah pembuktian).

g.      Pada soal poin g siswa akan menunjukkan bahwa  adalah benar (masalah pembuktian).

h.      Pada soal poin h, i dan j merupakan masalah pembuktian diserahkan kepada Anda sebagai latihan.

Pemecahan masalah memerlukan strategi dalam menyelesaikannya.Kebenaran,ketepatan,keuletan dan kecepatan adalah suatu hal yang diperlukan dalam penyelesaian masalah.Keterampilan siswa dalam menyusun suatu strategi adalah suatu kemampuan yang harus dilihat oleh guru.Jawaban benar bukan standar ukur mutlak,namun proses yang lebih penting darimana siswa dapat mendapatkan jawaban tersebut.Variasi strategi yang diharapkan muncul dalam pembelajaran siswa SD.

D.    Jenis-jenis Pemecahan Masalah Beserta Contohnya

Berikut ini beberapa adalah jenis pemecahan masalah yang diterapkan dalam pembelajaran siswa sekolah dasar :

1.      Bekerja Mundur

Cara ini digunakan ketika pemecah masalah mendapati suatu masalah yang memiliki titik akhir (end-point) namun mendapati terlalu banyak/rumit cara untuk menyelesaikan masalah ketika melalui titik awal permasalahan.

Contoh :

Evelyn, Henry, dan Al bermain suatu permainan. Pemain yang kalah pada setiap rondenya harus memberikan uang sebanyak uang lawan  pada saat itu kepada masing-masing pemain tersebut. Pada ronde pertama, Evelyn kalah dan memberi Henry dan Al uang sejumlah yang mereka punya. Pada ronde kedua, Henry kalah, dan memberi Evelyn dan Al uang sebanyak yang mereka punya masing-masing. Al kalah pada ronde ketiga, dan memberi Evelyn dan Henry uang sebanyak yang mereka punya. Mereka memutuskan untuk berhenti bermain pada saat itu dan menemukan bahwa uang mereka masing-masing adalah $24.

Berapa banyak uang mereka masing-masing pada awal permainan?

Penyelesaian :

Pemecah masalah biasanya memulai mengerjakan soal ini dengan membuat sistem persamaan tiga variabel. Namun, soal menuntut banyak peran dari pengurangan dan penyederhanaan tanda kurung sehingga dikhawatirkan kemungkinan terjadi kesalahan menjadi lebih besar.

Lain halnya jika dikerjakan dengan cara mundur. Pemecah masalah tidak perlu berhadapan dengan sistem aljabar.

	Evelyn	Henry	Al
Akhir ronde 3	24	24	24
Akhir ronde 2	12	12	48
Akhir ronde 1	6	42	24
Awal Bermain	39	21	12

2.      Mencari Pola

Salah satu kecantikan matematika adalah kelogisan dan keteraturan yang menjadi sifat alaminya. Kelogisan tersebut dapat terlihat secara ‘fisik’ sebagai pola maupun serangkaian pola.

Bergitupula permasalahan matematika, dengan meluangkan sedikit waktu untuk berpikir, pola dari permasalahan akan muncul dan memberi jalan bagi pemecah masalah untuk menyelesaikan soal tersebut.

Contoh :

Tentukan besar digit satuan dari jumlah 13²⁵ + 4⁸¹ + 5⁴¹¹!

Penyelesaian :

Untuk perpangkatan dari 13, ditemukan:

 

Nilai satuan dari perpangkatan bilangan 13 akan berulang yaitu 3,9,7,1,3,9,7,1,. . . setiap 4 periode. Oleh karena itu 13⁵ akan sama bilangan satuannya dengan 13¹ yaitu 3.

Untuk perpangkatan dari 4, ditemukan:

Nilai bilangan satuan dari perpangkatan bilangan 4 akan terulang, yaitu 4,6,4,6,4,6 . . . Setiap 2 periode. Oleh karena itu, 4⁸¹ akan sama bilangan satuannya dengan 4¹, yaitu 4.

Nilai satuan dari perpangkatan 5 pastilah 5. ( 5, 25, 125, 625, . . .)

Jadi nilai satuan dari 13²⁵ + 4⁸¹ + 5⁴¹¹  adalah 3 + 4 + 5 = 12, yang mempunyai nilai satuan 2.

3.      Mengadopsi Sudut Pandang yang Berbeda

Mengerjakan soal matematika dengan menyelesaikan secara langsung memang memberikan solusi tetapi belum tentu cara tersebut efesien. Terkadang, akan sangat menguntungkan bagi pemecah masalah ketika mencoba mengadopsi sudut pandang yang berbeda dari suatu permasalahan.

Contoh :

Pada gambar dibawah, ABCD adalah sebuah persegi, P dan Q adalah titik tengah dari sisi-sisinya. Berapakah perbandingan dari luas segitiga DPQ terhadap luas persegi.

 

Penyelesaian :

Penyelesaian umum terhadap permasalahan ini yaitu dengan meninjau sebuah persegi dengan sisi x, kemudian mencari luas daerah dari 3 segitiga siku-siku dan menjumlahkannya serta mengurangkannya dengan luas persegi untuk memperoleh luas segitiga DPQ.

Namun, jika kita lihat dari sudut pandang yang lain, soal ini akan lebih mudah dikerjakan.

Pilihlah E dan F sebagai titik tengah dari CD dan AD,

Luas segitiga APD =  Luas ABCD

Luas segitiga QCD =  Luas ABCD

Luas segitiga PBQ =  Luas ABCD

Jumlah luas ketiga segitiga tersebut adalah

 .

Sehingga, luas DPQ adalah  dari luas persegi.

4.      Menyelesaikan dengan analogi yang lebih sederhana

Sekarang kita telah mengetahui bahwa terdapat banyak cara dalam memecahkan masalah matematika. Namun, yang menjadi fokus dalam setiap permasalahan adalah bagaimana menemukan dan menentukan metode yang terbaik, dan paling efesien.

Salah satu metode yang kadangkala dapat memunculkan jawaban adalah dengan mengubah soal dalam bentuk yang lebih mudah untuk dikerjakan. Dengan mengerjakan soal ini diharapkan pemecahan masalah mendapatkan pengetahuan untuk mengerjakan soal yang sebenarnya. Metode ini digunakan ketika suatu masalah tidak menuntut jawaban yang exact.

Contoh :

Diberikan 4 bilangan berikut:

7895

13127

51873

7356

Berapa persen kah rata-rata bilangan tersebut terhadap jumlah bilangannya?

Penyelesaian :

Misalkan jumlah bilangan adalah S

sehingga rata-rata bilangan tersebut adalah

Untuk mencari persen, kita membagi .

Kemudian konversi  menjadi persen, didapat 25%.

5.      Meninjau Kasus Ekstrim

Beberapa soal dapat dipecahkan dengan mudah dengan meninjau kasus ekstrim dalam soal tersebut. Dengan meninjau kasus ekstrim kita mungkin merubah variabel tetapi hanya variabel yang tidak mempengaruhi soal awal.

Contoh :

Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan konstan 55 km/jam. Pengemudi itu mendapati bahwa mobil kedua tepat  km di belakangnya. Mobil kedua tersebut berhasil mendahului mobil pertama, tepat 1 menit kemudian. Berapakah kecepatan mobil kedua berjalan? 

Penyelesaian :

Asumsikan bahwa mobil pertama berjalan dengan kecepatan sangat lambat, yaitu 0 km/jam. Dalam kondisi ini, mobil kedua berjalan  km dalam 1 menit untuk mendahului mobil pertama. Maka, mobil kedua berjalan dengan kecepatan 30 km/jam. Ketika mobil pertama beranjak dari 0 km/jam, maka mobil kedua akan berjalan 30 km/jam lebih cepat. Sehingga, jika mobil pertama melintas dengan kecepatan 55 km/jam, maka mobil kedua akan melintas pada kecepatan 85 km/jam. 

6.      Membuat Gambar (Visualisasi Masalah)

Membuat gambar/visualisasi dalam geometri bukanlah suatu hal yang baru. Namun bagaimana jika dibuat untuk jenis soal lain? Gambar/visualisasi akan berfungsi sebagai fasilitator untuk menyelesaikan masalah dibanding sebagai unsur-unsur dari permasalahan.

Contoh :

Seorang ahli perhiasan membuat anting perak dari lempengan-lempengan perak. Setiap lempengan dapat dibuat 1 anting. Hasil sisa dari 6 lempengan kemudian dapat dilelehkan dan disatukan kembali membentuk 1 lempengan perak. Ahli perhiasan tersebut memesan 36 lempengan perak untuk memenuhi permintaan pelanggannya. Berapa banyak anting yang dapat dibuat dari 36 lempengan perak ?

Penyelesaian :

Untuk mempermudah pengerjaan, penggunaan visualisasi layak untuk dipertimbangkan.

Sehingga didapat bahwa terdapat 43 anting perak dapat dibuat.

7.      Terkaan Cerdas dan Pengujian

Dalam strategi ini kita akan membuat terkaan kemudian mengetesnya ke dalam soal. Meskipun demikian, metode ini cukup berbeda dengan trial-and-error karena terjadi pembatasan nilai variabel yang pada akhirnya terfokus kepada jawaban yang dicari. Dalam metode ini, jawaban akan terlihat lebih teratur.

Contoh :

Jumlah dari suatu bilangan bulat, kuadratnya dan akar kuadratnya adalah 276. Tentukan bilangan tersebut !

Penyelesaian :

Kita dapat menggunakan pendekatan dengan cara “meneka dengan cerdas dan pengujian”.

Perhatikan bahwa kita mencoba menggunakan bilangan kuadrat terbesar yang kurang dari 276. Kemungkinannya adalah 256. Jika bilangan ini adalah bilangan kuadrat yang dimaksudkan soal maka bilangan tersebut adalah 16 dan akar kuadratnya adalah 4.

Dan hasil pengujiannya sebagai berikut:

ternyata .

8.      Menghitung Semua Kemungkinan

Strategi ini seringkali disebut dengan “mengeliminasi/menghilangkan kemungkinan” yakni strategi di mana pemecah masalah menghilangkan kemungkinan jawaban sampai menyisakan jawaban yang benar.

Tentunya cara ini membutuhkan waktu lebih lama daripada cara-cara lainnya. Tapi ada kalanya suatu permasalahan lebih baik diselesaikan dengan cara ini ketika cara yang lain tidak menjanjikan sebuah jawaban atau terlalu abstrak.

Terkadang proses pengeliminasian kemungkinan jawaban dapat terjadi secara mental (tanpa melibatkan tulisan).

Contoh :

Jika 4 koin dilempar, berapakah peluang bahwa paling sedikit 2 angka muncul ?

Penyelesaian :

Satu-satunya cara yang dapat dilakukan adalah dengan mendata semua kemungkinan kejadian karena akan terlalu rumit untuk mencoba memformulasi permasalahan ini. Adapun semua kemungkinannya adalah sebagai berikut:

    AAAA                        AAAG                        AAGA                        AGAA

    GAAA                        GGAA            AGAG            GAAG

    AGGA            GAGA            GGAA            AGGG

    GAGG                        GGAG                        GGGA                        GGGG

Terdapat 11 kemungkinan kejadian bahwa minimal 2 angka muncul. Oleh karena itu, peluang kejadiannya adalah 11/16.

9.      Mengorganisasi Data

Beberapa orang kadang kebingungan mengerjakan soal yang memuat atau mengandung unsur-unsur informasi seperti data dsb. Mengorganisasi ulang data yang diberikan mungkin bisa menjadi alternatif dalam memandang suatu soal/permasalahan secara visual.

Contoh :

Berapa banyak segitiga pada gambar berikut:

 

Penyelesaian :

Mulai dengan segitiga ABC, terdapat 1 segitiga.

Kemudian perhatikan segitiga ABC dengan 1 garis dalam, AD. Terdapat 2 segitiga. (ABD, ADC)

Kemudian tambahkan garis BE, maka terdapat 5 segitiga. (ABG, BGD, AGE, BEC, ABE)

Lanjutkan dengan menambahkan garis CF, maka terdapat 9. (FBH, AFC, BHC, AFK, KDC, AKC, FBC, HKG, EHC)

Sehingga total segitiga adalah 17

                         

10.  Penalaran Logis

Tanpa kita sadari kita sering melakukan penalaran secara logis. Kemampuan melakukan penalaran logis bergantung pada banyak latihan maupun pengalaman yang telah didapat. Karena materi matematika salng berhubungan, maka dalam permasalahan matematika, valid-nya suatu penalaran akan sangat bergantung terhadap keluwesan dan penguasaan materi-materi matematika tersebut.

Contoh :

Kerjakan persamaan berikut, dan tentukan nilai x dan y, dimana x dan y adalah bilangan real:

Penyelesaian :

Dengan penalaran logis dan pengetahuan kita terhadap sistem bilangan. Sebuah persamaan yang berbentuk (dimana a dan b bilangan real) adalah benar jika dan hanya jika a = 0 dan b = 0, maka:

                     dan                 

                dan                 

Dengan mensubtitusikan x didapat:

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Masalah

Suatu masalah biasanya memuat suatu situasi yang mendorong seseorang untuk menyelesaikannya akan tetapi tidak tahu secara langsung apa yang harus dikerjakan untuk menyelesaikannya. Jika suatu masalah diberikan kepada seorang anak dan anak tersebut langsung mengetahui cara menyelesaikannya dengan benar, maka soal tersebut tidak dapat dikatakan sebagai masalah.

Beberapa ahli pendidikan matematika menyatakan bahwa masalah merupakan pertanyaan yang harus dijawab atau direspon. Namun tidak setiap pertanyaan otomatis merupakan suatu masalah. Suatu pertanyaan disebut masalah tergantung kepada pengetahuan yang dimiliki penjawab. Dapat terjadi bahwa bagi seseorang, pertanyaan itu dapat dijawab dengan menggunakan prosedur rutin tetapi bagi orang lain untuk menjawab pertanyaan tersebut memerlukan pengorganisasian pengetahuan yang telah dimiliki secara tidak rutin.

Jadi suatu pertanyaan dapat menjadi masalah bagi seseorang tetapi bisa hanya menjadi pertanyaan biasa bagi orang lain. Hal ini sesuai dengan pernyataan Schoenfeld (1985) yaitu bahwa definisi masalah selalu relatif bagi setiap individu. Kategori pertanyaan menjadi masalah atau pertanyaan hanyalah pertanyaan biasa ditentukan oleh ada atau tidaknya tantangan serta belum diketahuinya prosedur rutin pada pertanyaan tersebut.

Hal ini dikatakan oleh Cooney, 1975 bahwa suatu pertanyaan akan menjadi masalah hanya jika pertanyaan itu menunjukkan adanya tantangan yang tidak dapat dipecahkan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui oleh si pelaku.

Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah hanya jika seseorang tidak mempunyai aturan/hukum tertentu yang dapat segera dipergunakan untuk menemukan jawaban pertanyaan tersebut.

Suatu pertanyaan merupakan masalah bergantung kepada individu dan waktu. Artinya, suatu pertanyaan merupakan suatu masalah bagi seorang anak, tetapi mungkin bukan suatu masalah bagi anak lain. Demikian juga suatu pertanyaan merupakan suatu masalah bagi seorang anak pada suatu saat, tetapi bukan merupakan suatu masalah lagi bagi anak tersebut pada saat berikutnya, bila anak tersebut sudah mengetahui cara dan proses penyelesaian masalah tersebut.

Syarat suatu masalah bagi seorang siswa adalah :

1.      Pertanyaan yang dihadapkan kepada seorang siswa haruslah dapat dimengerti oleh siswa tersebut, namun pertanyaan itu harus merupakan tantangan baginya untuk menjawabnya.

2.      Pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab dengan prosedur rutin yang telah diketahui siswa. Karena itu, faktor waktu untuk menyelesaikan masalah janganlah dipandang sebagai hal yang esensial.

Pertanyaan yang dihadapkan kepada siswa disebut soal. Soal-soal matematika dibagi menjadi dua bagian, yaitu :

1.      Latihan yang diberikan pada saat belajar matematika adalah bersifat berlatih agar terampil atau sebagai aplikasi dari pengertian yang baru saja diajarkan

2.      Untuk menyelesaikan suatu masalah, siswa tersebut harus menguasai hal-hal yang telah dipelajari sebelumnya yaitu mengenai pengetahuan, keterampilan dan pemahaman.

Menurut Polya (1973), terdapat dua macam masalah, yaitu :

1.      Masalah untuk menemukan, dapat teoritis atau  praktis, abstrak atau konkrit, termasuk teka-teki. Bagian utama dari masalah ini adalah :

a.       Apakah yang dicari?

b.      Bagaimana data yang diketahui?

c.       Bagaimana syaratnya?

Ketiga bagian utama tersebut sebagai landasan untuk dapat menyelesaikan masalah jenis ini.

2.      Masalah untuk membuktikan adalah untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan itu benar atau salah atau tidak kedua-duanya. Bagian utama dari masalah ini adalah hipotesa dan konklusi dari sebuah teorema yang harus dibuktikan kebenarannya.

Kedua bagian utama tersebut sebagai landasan untuk dapat menyelesaikan masalah jenis ini.

Masalah untuk menemukan lebih penting dalam matematika elementer, sedangkan masalah untuk membuktikan lebih penting dalam matematika lanjut.

B.     Pengertian Pemecahan Masalah

Pada awal abad ke sembilan belas, pemecahan masalah dipandang sebagai kumpulan keterampilan bersifat mekanis, sistematik, dan seringkali abstrak sebagaimana keterampilan yang digunakan pada penyelesaian soal sistem persamaan. Penyelesaian masalah seperti ini seringkali hanya berlandaskan pada solusi logis yang bersifat tunggal (Kirkley, 2003).

 Menurut Garofalo dan Lester (dalam Kirkley, 2003), pemecahan masamasah mencakup proses berpikir tingkat tinggi seperti proses visualisasi, asosiasi, abstraksi, manipulasi, penalaran, analisis, sintesis, dan generalisasi yang masing-masing perlu dikelola secara terkoordinasi.

Menurut NCTM (2000) memecahkan masalah berarti menemukan cara atau jalan mencapai tujuan atau solusi yang tidak dengan mudah menjadi nyata. Sedangkan menurut Polya (dalam Hudoyo, 1979) definisi pemecahan masalah adalah sebagai usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan, mencapai tujuan yang tidak dengan segera dapat dicapai.

Pemecahan masalah merupakan suatu proses untuk mengatasi kesulitan yang dihadapi untuk mencapai suatu tujuan yang hendak dicapai. Memecahkan suatu masalah matematika itu bisa merupakan kegiatan menyelesaikan soal cerita, menyelesaikan soal yang tidak rutin, mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari atau keadaan lain dan membuktikan atau menciptakan atau menguji konjektur.

Menurut Polya (Dardiri, 2007 : 28) menjelaskan bahwa pemecahan masalah merupakan suatu aktivitas intelektual yang sangat tinggi sebab dalam pemecahan masalah siswa harus dapat menyelesaikan dan menggunakan aturan-aturan yang telah dipelajari untuk membuat rumusan masalah. Aktivitas mental yang dapat dijangkau dalam pemecahan masalah antara lain adalah mengingat, mengenal, menjelaskan, membedakan, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi.

Selain itu, Dahar (Furqon, 2006 : 40) mengungkapkan bahwa pemecahan masalah merupakan kegiatan manusia yang mengaplikasikan konsep-konsep dan aturan-aturan yang diperoleh sebelumnya. Bila seorang siswa memecahkan masalah secara tidak langsung terlibat dalam perilaku berpikir.

Proses belajar menggunakan pemecahan masalah memungkinkan siswa membangun atau mengkonstruksi pengetahuannya sendiri didasarkan pengetahuan yang telah dimilikinya sehingga proses belajar yang dilakukan akan berjalan aktif dan dinamis.

Berdasarkan uraian tersebut, pemecahan masalah dalam matematika dipandang sebagai proses dimana siswa menemukan kombinasi aturan-aturan atau prinsip-prinsip matematika yang telah dipelajari sebelumnya yang digunakan untuk memecahkan masalah.

 Menurut Polya (1971), solusi soal pemecahan masalah memuat empat langkah fase penyelesaian, yaitu memahami masalah, merencanakan penyelesaian, menyelesaikan masalah sesuai rencana, dan melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah yang telah dikerjakan.

Fase pertama adalah memahami masalah. Tanpa adanya pemahaman terhadap masalah yang diberikan, siswa tidak mungkin mampu menyelesaikan masalah tersebut dengan benar. Setelah siswa dapat memahami masalahnya dengan benar, selanjutnya mereka harus mampu menyusun rencana penyelesaian masalah. Kemampuan melakukan fase kedua ini sangat tergantung pada pengalaman siswa dalam menyelesaikan masalah. Pada umumnya, semakin bervariasi pengalaman mereka, ada kecenderungan siswa lebih kreatif dalam menyusun rencana penyelesaian suatu masalah. Jika rencana penyelesaian suatu masalah telah dibuat, baik secara tertulis atau tidak, selanjutnya dilakukan penyelesaian masalah sesuai dengan rencana yang dianggap paling tepat. Dan langkah terahir dari proses penyelesaian masalah menurut Polya adalah melakukan pengecekan atas apa yang telah dilakukan mulai dari fase pertama sampai fase penyelesaian ketiga. Dengan cara seperti ini maka berbagai kesalahan yang tidak perlu dapat terkoreksi kembali sehingga siswa dapat sampai pada jawaban yang benar sesuai dengan masalah yang diberikan.

Tingkat kesulitan soal pemecahan-masalah harus disesuaikan dengan tingkat kemampuan anak. Berdasarkan hasil penelitian Driscoll (1982), pada anak usia sekolah dasar kemampuan pemecahan masalah erat sekali hubungannya dengan kemampuan pemecahan-masalah. Sedangkan pada anak yang lebih dewasa, misalkan siswa SMU, kaitan antar kedua hal tersebut sangat kecil.

C.    Jenis-jenis Masalah dalam Matematika Beserta Contohnya

Masalah dalam matematika dapat dibagi atas beberapa macam. Para ahli membagi masalah tersebut dalam berbagai jenis berdasarkan sudut pandang masing-masing.

Menurut Polya (1957) (dalam Dindyal, 2005: 70), masalah dibagi atas dua macam, yaitu masalah rutin dan masalah tidak rutin. Hal ini sejalan dengan pendapat Sternberg dan Ben-Zeev (1996: 32) bahwa masalah matematika terbagi atas masalah rutin dan masalah tidak rutin.

Masalah rutin adalah suatu masalah yang semata-mata hanya merupakan latihan yang dapat dipecahkan dengan menggunakan beberapa perintah atau algoritma. Contoh: (54 - 45) + (74 – 65) = ___. Ini Adalah masalah rutin untuk semua siswa sekolah menengah karena apa yang hendak dilakukan sudah jelas dan secara umum siswa tahu bagaimana menghitungnya.

Masalah tidak rutin lebih menantang dan diperlukan kemampuan kreativitas dari pemecah masalah. Menurut Sternberg dan Ben-Zeev (1996: 32), masalah yang tidak rutin muncul ketika pemecah masalah mempunyai suatu masalah tetapi tidak segera mengetahui bagaimana memecahkannya. Contoh:
Dalam sebuah pesta rakyat, banyak pengunjung pria dibandingkan pengunjung wanita adalah 5 : 2. Bila di antara pengunjung pria itu ada 6 orang yang meninggalkan pesta sebelum pesta usai, maka perbandingan pengunjung pria dan pengunjung wanita menjadi 2 : 1. Tentukan banyak pengunjung pesta rakyat itu?

Soal di atas merupakan soal yang tidak rutin karena apa yang dilakukan tidak jelas. Siswa dapat saja menyelesaikan soal ini dengan jelas tapi salah dalam merepresentasikan masalahnya.

Menurut Sternberg dan Ben-Zeev (1996: 32), beberapa masalah dapat disebut rutin untuk seorang pemecah masalah tetapi tidak rutin untuk orang lain. Jika siswa mengetahui rumus jarak = kecepatan x waktu, dan familiar dengan masalah jarak-kecepatan-waktu, maka soal berikut adalah soal rutin:
Jarak pulau Siompu dan pulau Kabaena adalah 240 mil. Seorang nelayan menggunakan sebuah perahu motor berangkat dari pulau Siompu pukul 04.30 WITA menuju pulau Kabaena dengan kecepatan rata-rata 75 mil/jam. Di tengah diperjalanan ia beristirahat 40 menit sambil memancing ikan. Pada pukul berapakah nelayan tersebut tiba di pulau Kabaena?

Contoh terakhir di atas menjadi soal yang tidak rutin jika siswa tidak mengetahui atau belum memahami secara baik hubungan antara jarak, kecepatan, dan waktu atau belum familiar terhadap hubungan ketiganya.
Contoh-contoh masalah yang dikemukakan dalam bentuk soal-soal di atas itu disebut juga masalah dunia nyata dan merupakan salah satu jenis dari masalah matematika. Di dalam Wikipedia (2008: 1) disebutkan bahwa masalah matematika dapat dibagi atas dua macam, yaitu: (1) masalah dunia nyata (real world problem) atau masalah alami yang lebih abstrak (a problem of a more abstract nature); dan (2) masalah matematika murni itu sendiri (nature mathematics).

Masalah matematika dunia nyata adalah suatu pertanyaan yang dikaitkan dengan keadaan konkrit (Wikipedia, 2008: 1). Masalah dunia nyata digunakan dalam pendidikan matematika untuk mengajarkan kepada siswa keterkaitan situasi dunia nyata dengan bahasa matematika yang abstrak. Keterkaitan matematika dengan dunia nyata yang tampak pada setiap pernyataan atau soal matematika yang diberikan akan berdampak pada banyak aspek dalam diri siswa seperti lebih tertarik untuk mempelajari matematika dan meningkatkan kemampuan berpikirnya. Oleh karena itu, siswa perlu diarahkan untuk memahami bagaimana menyelesaikan masalah dunia nyata secara lebih baik.

Sehubungan dengan masalah yang tidak rutin ini, menurut Polya (1973) (dalam Hudojo, 2001: 164), di dalam matematika terdapat dua macam masalah, yaitu: (1) masalah untuk menemukan, dapat teoritis atau praktis, abstrak atau konkret, termasuk teka-teki; dan (2) masalah untuk membuktikan adalah untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu benar atau salah - tidak kedua-duanya. Bagian utama dari masalah menemukan adalah: ”Apakah yang dicari? Bagaimana data yang diketahui? Bagaimana syaratnya?”, sehingga masalah seperti ini lebih penting dalam matematika elementer, sedangkan masalah membuktikan lebih penting dalam matematika lanjut. Kedua macam masalah ini merupakan bagian tak terpisahkan dari kegiatan siswa mempelajari matematika. Setiap masalah dalam matematika memerlukan pemecahan dan pemecahan itu harus dapat dibuktikan atau dapat dikomunikasikan sehingga dapat diterima oleh orang lain.

Jenis masalah dalam pembelajaran SD ada 4 yaitu:

1.      Masalah Translasi

Masalah translasi adalah masalah yang berhubungan aktivitas sehari-hari siswa.

Contoh: Ade membeli permen Sugus 12 buah.Bagaimana cara Ade membagikan kepada 24 orang temannya agar semua kebagian dengan adil?

2.      Masalah Aplikasi

Masalah aplikasi adalah masalah yang menerapkan suatu konsep,rumus matematika dalam sebuah soal-soal matematika.

Contoh : suatu kolam berbentuk persegipanjang yang berukuran panjang 20 meter dan lebar 10 meter.Berapa luas kolam tersebut?

3.      Masalah Proses/Pola

Masalah proses/pola adalah masalah yang memiliki pola, keteraturan dalam penyelesainnya.

Contoh: 2   4   6   8   ... Berapa angka berikutnya?

4.      Masalah Teka-teki

Masalah teka-teki adalah masalah yang sifat menerka atau dapat berupa permainan namun tetap mengacu pada konsep dalam matematika.

Contoh:Aku adalah anggota bilangan Asli,aku adalah bilangan perkasa,jika kelipatannku dijumlahkan angka-angkanya hasilnya adalah aku,siapakah aku?

Masalah di dalam matematika dapat diklasifikasi dalam dua jenis (Pusat Kurikulum, 2002 a, b, dan c), yaitu :

1.      Penemuan (Problem to find), yaitu mencari, menentukan, atau mendapatkan nilai atau objek tertentu yang tidak diketahui dari soal serta memenuhi kondisi atau syarat yang sesuai dengan soal.

2.      Pembuktian (Problem to prove), yaitu prosedur untuk menentukan apakah suatu pernyataan benar atau tidak benar. Soal membuktikan terdiri atas bagian hipotesis dan kesimpulan. Untuk membuktikan kita harus membuat atau memproses pernyataan yang logis dari hipotesis menuju kesimpulan, sedangkan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tidak benar kita harus memberikan contoh penyangkalnya sehingga pernyataan tersebut menjadi tidak benar.

Perhatikan beberapa contoh soal berikut:

a.       Apa langkah pertama yang harus dilakukan dalam mengerjakan 3 1/2: 5 1/4?

b.      Tentukan hasilnya bila 1/4 x 6 : 2 1/2 ?

c.       Manakah yang lebih luas, kebun yang berbentuk persegipanjang dengan panjang 314 m dan lebar 12 m atau kolam renang yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari lingkaran 12 m?

d.      Ani lebih tua dari Budi, Budi lebih tua daripada Chandra, Chandra lebih muda daripada Deni. Siapakah yang paling muda di antara mereka?

e.       Diketahui sejumlah bangun geometri datar, yaitu persegi, persegipanjang, segitiga, lingkaran, belahketupat, jajargenjang, laying-layang, dan trapesium. Buatlah hubungan di antara mereka dalam bentuk diagram peta konsep!

f.       Dengan cara bagaimana kita menunjukkan 6 dibagi 3 adalah 2?

g.      Jelaskan mengapa?

h.      Mengapa bilangan-bilangan ganjil dikalikan dengan bilangan genap selalu menghasilkan bilangan genap?

i.        Mengapa setiap persegi adalah pesegi panjang?

j.        Mengapa sebuah relasi belum tentu merupakan fungsi?

Dari soal-soal di atas soal no a-e merupakan masalah penemuan, sedangkan soal no 6-10 merupakan masalah pembuktian, karena :

a.       Pada soal poin a siswa akan menentukan langkah pertama untuk mendapatkan nilai dari 3 ½ : 5 ¼ (masalah penemuan).

b.      Pada soal poin b siswa akan mencari nilai dari 1/4 x 6 : 2 1/2 (masalah penemuan).

c.       Pada soal poin c siswa akan menentukan mana yang lebih luas dengan mencari luas kebun dan kolam renang dengan ukuran masing-masing yang sudah di tentukan (masalah penemuan).

d.      Pada soal poin d siswa akan menentukan kondisi yang sesuai soal dengan yang diberikan (masalah penemuan).

e.       Pada soal poin e siswa akan mencari, menentukan, dan mendapatkan hubungan bangun geometri datar yang diberikan dalam diagram peta konsep (masalah penemuan).

f.       Pada soal poin f siswa akan menunjukkan bahwa 6 dibagi 3 adalah 2 merupakan pernyataan yang bernilai benar (masalah pembuktian).

g.      Pada soal poin g siswa akan menunjukkan bahwa  adalah benar (masalah pembuktian).

h.      Pada soal poin h, i dan j merupakan masalah pembuktian diserahkan kepada Anda sebagai latihan.

Pemecahan masalah memerlukan strategi dalam menyelesaikannya.Kebenaran,ketepatan,keuletan dan kecepatan adalah suatu hal yang diperlukan dalam penyelesaian masalah.Keterampilan siswa dalam menyusun suatu strategi adalah suatu kemampuan yang harus dilihat oleh guru.Jawaban benar bukan standar ukur mutlak,namun proses yang lebih penting darimana siswa dapat mendapatkan jawaban tersebut.Variasi strategi yang diharapkan muncul dalam pembelajaran siswa SD.

D.    Jenis-jenis Pemecahan Masalah Beserta Contohnya

Berikut ini beberapa adalah jenis pemecahan masalah yang diterapkan dalam pembelajaran siswa sekolah dasar :

1.      Bekerja Mundur

Cara ini digunakan ketika pemecah masalah mendapati suatu masalah yang memiliki titik akhir (end-point) namun mendapati terlalu banyak/rumit cara untuk menyelesaikan masalah ketika melalui titik awal permasalahan.

Contoh :

Evelyn, Henry, dan Al bermain suatu permainan. Pemain yang kalah pada setiap rondenya harus memberikan uang sebanyak uang lawan  pada saat itu kepada masing-masing pemain tersebut. Pada ronde pertama, Evelyn kalah dan memberi Henry dan Al uang sejumlah yang mereka punya. Pada ronde kedua, Henry kalah, dan memberi Evelyn dan Al uang sebanyak yang mereka punya masing-masing. Al kalah pada ronde ketiga, dan memberi Evelyn dan Henry uang sebanyak yang mereka punya. Mereka memutuskan untuk berhenti bermain pada saat itu dan menemukan bahwa uang mereka masing-masing adalah $24.

Berapa banyak uang mereka masing-masing pada awal permainan?

Penyelesaian :

Pemecah masalah biasanya memulai mengerjakan soal ini dengan membuat sistem persamaan tiga variabel. Namun, soal menuntut banyak peran dari pengurangan dan penyederhanaan tanda kurung sehingga dikhawatirkan kemungkinan terjadi kesalahan menjadi lebih besar.

Lain halnya jika dikerjakan dengan cara mundur. Pemecah masalah tidak perlu berhadapan dengan sistem aljabar.

	Evelyn	Henry	Al
Akhir ronde 3	24	24	24
Akhir ronde 2	12	12	48
Akhir ronde 1	6	42	24
Awal Bermain	39	21	12

2.      Mencari Pola

Salah satu kecantikan matematika adalah kelogisan dan keteraturan yang menjadi sifat alaminya. Kelogisan tersebut dapat terlihat secara ‘fisik’ sebagai pola maupun serangkaian pola.

Bergitupula permasalahan matematika, dengan meluangkan sedikit waktu untuk berpikir, pola dari permasalahan akan muncul dan memberi jalan bagi pemecah masalah untuk menyelesaikan soal tersebut.

Contoh :

Tentukan besar digit satuan dari jumlah 13²⁵ + 4⁸¹ + 5⁴¹¹!

Penyelesaian :

Untuk perpangkatan dari 13, ditemukan:

 

Nilai satuan dari perpangkatan bilangan 13 akan berulang yaitu 3,9,7,1,3,9,7,1,. . . setiap 4 periode. Oleh karena itu 13⁵ akan sama bilangan satuannya dengan 13¹ yaitu 3.

Untuk perpangkatan dari 4, ditemukan:

Nilai bilangan satuan dari perpangkatan bilangan 4 akan terulang, yaitu 4,6,4,6,4,6 . . . Setiap 2 periode. Oleh karena itu, 4⁸¹ akan sama bilangan satuannya dengan 4¹, yaitu 4.

Nilai satuan dari perpangkatan 5 pastilah 5. ( 5, 25, 125, 625, . . .)

Jadi nilai satuan dari 13²⁵ + 4⁸¹ + 5⁴¹¹  adalah 3 + 4 + 5 = 12, yang mempunyai nilai satuan 2.

3.      Mengadopsi Sudut Pandang yang Berbeda

Mengerjakan soal matematika dengan menyelesaikan secara langsung memang memberikan solusi tetapi belum tentu cara tersebut efesien. Terkadang, akan sangat menguntungkan bagi pemecah masalah ketika mencoba mengadopsi sudut pandang yang berbeda dari suatu permasalahan.

Contoh :

Pada gambar dibawah, ABCD adalah sebuah persegi, P dan Q adalah titik tengah dari sisi-sisinya. Berapakah perbandingan dari luas segitiga DPQ terhadap luas persegi.

 

Penyelesaian :

Penyelesaian umum terhadap permasalahan ini yaitu dengan meninjau sebuah persegi dengan sisi x, kemudian mencari luas daerah dari 3 segitiga siku-siku dan menjumlahkannya serta mengurangkannya dengan luas persegi untuk memperoleh luas segitiga DPQ.

Namun, jika kita lihat dari sudut pandang yang lain, soal ini akan lebih mudah dikerjakan.

Pilihlah E dan F sebagai titik tengah dari CD dan AD,

Luas segitiga APD =  Luas ABCD

Luas segitiga QCD =  Luas ABCD

Luas segitiga PBQ =  Luas ABCD

Jumlah luas ketiga segitiga tersebut adalah

 .

Sehingga, luas DPQ adalah  dari luas persegi.

4.      Menyelesaikan dengan analogi yang lebih sederhana

Sekarang kita telah mengetahui bahwa terdapat banyak cara dalam memecahkan masalah matematika. Namun, yang menjadi fokus dalam setiap permasalahan adalah bagaimana menemukan dan menentukan metode yang terbaik, dan paling efesien.

Salah satu metode yang kadangkala dapat memunculkan jawaban adalah dengan mengubah soal dalam bentuk yang lebih mudah untuk dikerjakan. Dengan mengerjakan soal ini diharapkan pemecahan masalah mendapatkan pengetahuan untuk mengerjakan soal yang sebenarnya. Metode ini digunakan ketika suatu masalah tidak menuntut jawaban yang exact.

Contoh :

Diberikan 4 bilangan berikut:

7895

13127

51873

7356

Berapa persen kah rata-rata bilangan tersebut terhadap jumlah bilangannya?

Penyelesaian :

Misalkan jumlah bilangan adalah S

sehingga rata-rata bilangan tersebut adalah

Untuk mencari persen, kita membagi .

Kemudian konversi  menjadi persen, didapat 25%.

5.      Meninjau Kasus Ekstrim

Beberapa soal dapat dipecahkan dengan mudah dengan meninjau kasus ekstrim dalam soal tersebut. Dengan meninjau kasus ekstrim kita mungkin merubah variabel tetapi hanya variabel yang tidak mempengaruhi soal awal.

Contoh :

Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan konstan 55 km/jam. Pengemudi itu mendapati bahwa mobil kedua tepat  km di belakangnya. Mobil kedua tersebut berhasil mendahului mobil pertama, tepat 1 menit kemudian. Berapakah kecepatan mobil kedua berjalan? 

Penyelesaian :

Asumsikan bahwa mobil pertama berjalan dengan kecepatan sangat lambat, yaitu 0 km/jam. Dalam kondisi ini, mobil kedua berjalan  km dalam 1 menit untuk mendahului mobil pertama. Maka, mobil kedua berjalan dengan kecepatan 30 km/jam. Ketika mobil pertama beranjak dari 0 km/jam, maka mobil kedua akan berjalan 30 km/jam lebih cepat. Sehingga, jika mobil pertama melintas dengan kecepatan 55 km/jam, maka mobil kedua akan melintas pada kecepatan 85 km/jam. 

6.      Membuat Gambar (Visualisasi Masalah)

Membuat gambar/visualisasi dalam geometri bukanlah suatu hal yang baru. Namun bagaimana jika dibuat untuk jenis soal lain? Gambar/visualisasi akan berfungsi sebagai fasilitator untuk menyelesaikan masalah dibanding sebagai unsur-unsur dari permasalahan.

Contoh :

Seorang ahli perhiasan membuat anting perak dari lempengan-lempengan perak. Setiap lempengan dapat dibuat 1 anting. Hasil sisa dari 6 lempengan kemudian dapat dilelehkan dan disatukan kembali membentuk 1 lempengan perak. Ahli perhiasan tersebut memesan 36 lempengan perak untuk memenuhi permintaan pelanggannya. Berapa banyak anting yang dapat dibuat dari 36 lempengan perak ?

Penyelesaian :

Untuk mempermudah pengerjaan, penggunaan visualisasi layak untuk dipertimbangkan.

Sehingga didapat bahwa terdapat 43 anting perak dapat dibuat.

7.      Terkaan Cerdas dan Pengujian

Dalam strategi ini kita akan membuat terkaan kemudian mengetesnya ke dalam soal. Meskipun demikian, metode ini cukup berbeda dengan trial-and-error karena terjadi pembatasan nilai variabel yang pada akhirnya terfokus kepada jawaban yang dicari. Dalam metode ini, jawaban akan terlihat lebih teratur.

Contoh :

Jumlah dari suatu bilangan bulat, kuadratnya dan akar kuadratnya adalah 276. Tentukan bilangan tersebut !

Penyelesaian :

Kita dapat menggunakan pendekatan dengan cara “meneka dengan cerdas dan pengujian”.

Perhatikan bahwa kita mencoba menggunakan bilangan kuadrat terbesar yang kurang dari 276. Kemungkinannya adalah 256. Jika bilangan ini adalah bilangan kuadrat yang dimaksudkan soal maka bilangan tersebut adalah 16 dan akar kuadratnya adalah 4.

Dan hasil pengujiannya sebagai berikut:

ternyata .

8.      Menghitung Semua Kemungkinan

Strategi ini seringkali disebut dengan “mengeliminasi/menghilangkan kemungkinan” yakni strategi di mana pemecah masalah menghilangkan kemungkinan jawaban sampai menyisakan jawaban yang benar.

Tentunya cara ini membutuhkan waktu lebih lama daripada cara-cara lainnya. Tapi ada kalanya suatu permasalahan lebih baik diselesaikan dengan cara ini ketika cara yang lain tidak menjanjikan sebuah jawaban atau terlalu abstrak.

Terkadang proses pengeliminasian kemungkinan jawaban dapat terjadi secara mental (tanpa melibatkan tulisan).

Contoh :

Jika 4 koin dilempar, berapakah peluang bahwa paling sedikit 2 angka muncul ?

Penyelesaian :

Satu-satunya cara yang dapat dilakukan adalah dengan mendata semua kemungkinan kejadian karena akan terlalu rumit untuk mencoba memformulasi permasalahan ini. Adapun semua kemungkinannya adalah sebagai berikut:

    AAAA                        AAAG                        AAGA                        AGAA

    GAAA                        GGAA            AGAG            GAAG

    AGGA            GAGA            GGAA            AGGG

    GAGG                        GGAG                        GGGA                        GGGG

Terdapat 11 kemungkinan kejadian bahwa minimal 2 angka muncul. Oleh karena itu, peluang kejadiannya adalah 11/16.

9.      Mengorganisasi Data

Beberapa orang kadang kebingungan mengerjakan soal yang memuat atau mengandung unsur-unsur informasi seperti data dsb. Mengorganisasi ulang data yang diberikan mungkin bisa menjadi alternatif dalam memandang suatu soal/permasalahan secara visual.

Contoh :

Berapa banyak segitiga pada gambar berikut:

 

Penyelesaian :

Mulai dengan segitiga ABC, terdapat 1 segitiga.

Kemudian perhatikan segitiga ABC dengan 1 garis dalam, AD. Terdapat 2 segitiga. (ABD, ADC)

Kemudian tambahkan garis BE, maka terdapat 5 segitiga. (ABG, BGD, AGE, BEC, ABE)

Lanjutkan dengan menambahkan garis CF, maka terdapat 9. (FBH, AFC, BHC, AFK, KDC, AKC, FBC, HKG, EHC)

Sehingga total segitiga adalah 17

                         

10.  Penalaran Logis

Tanpa kita sadari kita sering melakukan penalaran secara logis. Kemampuan melakukan penalaran logis bergantung pada banyak latihan maupun pengalaman yang telah didapat. Karena materi matematika salng berhubungan, maka dalam permasalahan matematika, valid-nya suatu penalaran akan sangat bergantung terhadap keluwesan dan penguasaan materi-materi matematika tersebut.

Contoh :

Kerjakan persamaan berikut, dan tentukan nilai x dan y, dimana x dan y adalah bilangan real:

Penyelesaian :

Dengan penalaran logis dan pengetahuan kita terhadap sistem bilangan. Sebuah persamaan yang berbentuk (dimana a dan b bilangan real) adalah benar jika dan hanya jika a = 0 dan b = 0, maka:

                     dan                 

                dan                 

Dengan mensubtitusikan x didapat: